10) Свойства бета и гамма функций. Дифференцируя Г(р) по параметру под знаком интеграла, получим следующий интеграл: ,который сходится равномерно по параметру р на любом сегменте . В самом деле, абсолютная величина подынтегральной функции в интеграле удовлетворяет на полупрямой 0 < х < неравенству (+. Отсюда из сходимости интеграла следует, согласно признаку Вейерштрасса, равномерная сходимость интеграла. Это обстоятельство и непрерывность подынтегральной функции в интеграле г) при 0 < х < , О < р < позволяет сделать вывод о возможности дифференцирования Г(р) по параметру под знаком интеграла. Итак, производная Г'(р) существует и равна выражению : . Применяя формулу интегрирования по частям для функции Г(р+1) при р > 0, получим Итак, для любого р > 0 справедлива формула Г(р+1)=рГ(р). Последовательно применяя эту формулу для любого р > n — 1 и любого натурального n, получим Г(р + 1) = р(р - 1)... (р - n + 1)Г(р - n + 1). Соотношение называется формулой приведения для функции Г(р). С помощью формулы приведения гамма-функция для значений аргумента, больших единицы, «приводится» к гамма-функции для значений аргумента, заключенных между нулем и единицей. Так как , то, полагая в формуле приведения р = n, получим . Установим свойство симметрии функции В(p, q) и формулу приведения для этой функции. Сделаем в интеграле замену переменной, полагая х = 1 — t. Проделав необходимые вычисления, мы убедимся в справедливости равенства В(р, q) = B(q, p), которое выражает свойство симметрии функции В(р, q). Установим для функции В(р, q) формулы приведения. Для этой цели обратимся к функции В(p, q + 1), причем будем считать р и q положительными. Применяя интегрирование по частям и формулу , получим Из этих соотношений получаем следующую формулу: . Совершенно аналогично при р > 0 и q > 0, получаем соотношение . Полученные называются формулами приведения для функции В(p, q).