17) Сведение двойного интеграла к повторному для случаев прямоугольной и произвольной областей (теорема 19, 20 с доказательствами). Т19.Пусть для функции f(x,y) заданной на прямоугольнике , существует двойной интеграл и для каждого x существует однократный (определенный) интеграл. I(x)= Тогда существует двукратный повторный интеграл: При этом справедлива формула Доказательство: Разобьем прямоугольник P на m*n частичных прямоугольников . В пределах PKL выполняется неравенство: mKL ≤ f(x,y) ≤ MKL ,где MKL, mKL –точные верхняя и нижняя грани f(x,y) на PKL. Выберем x=ξ[xK-1,xK] и проинтегрируем эти неравенства по у от . Просуммируем части неравенства по L от 1 до m . Домножим на и просуммируем по k от 1 до n . Устремим ?=max dkl к нулю. По условию теоремы, функция f(x,y) интегрируема. Следовательно, существует . По теореме о двух милиционерах существует предел и он равен . С другой стороны является интегральной суммой для функции I(k), поэтому: Таким образом окончательно имеем . Теорема доказана. Т20.Пусть выполнены условия: 1)Область D замкнута, ограничена и такова, что любая прямая x=const параллельная Oy пересекает границу области не более чем в двух точках с ординатами и 2)Функция f(x,y) интегрируема в D, т.е. существует интеграл И такова, что возможно существование интеграла . Тогда существует повторный интеграл и выполняется равенство: Где a,b-минимальное и максим значение x в области D. Доказательство: Пусть P прямоугольник, содержащий область D. Введем в P вспомогательную функцию Нетрудно видеть, что функция F(x,y) удовлетворяет условиям теоремы 19, следовательно, справедливо равенство: . Или учитывая определение F(x,y) Очевидно справедливо и другая запись .Замечание: Если область D имеет более сложный вид, то эту область необходимо разбить на более простые области.