18) Замена переменных в двойном интеграле. Метод замены переменных при вычислении двойных интегралов является таким эффективным как и при вычислении однократных интегралов. Пусть заданы 2 области D и G

Пусть функции x=x(u,ν), y=y(u,ν) заданы на множестве G таковы, что при пробегании точками N(u,ν) области D точками M(x,y) пробегают всю область D. По существу функции x=x(u,ν), y=y(u,ν) осуществляют отображение множества G на множестве D. Пусть отображение осуществляемое функциями x=x(u,ν), y=y(u,ν) удовлетворяют условиям: 1)отображение взаимнооднозначно, т.е. каждой точке из G соответствует единственная точка из D и наоборот. 2)Функции x=x(u,ν), y=y(u,ν) и обратные им u=u(x,y), ν=ν(x,y) являются непрерывными и имеют непрерывные частные производные 1го порядка в соответствующих областях. 3)Функциональный определитель-Якобиан J(u,ν)= отличен от 0 в G. В общем случае элементарный -к в области D переходит в криволинейный параллелограмм в области D (и наоборот). Элементарные площади в области D и G связаны соотношением . Очевидно, что любая кривая из D переходит в некоторую кривую в G. В частности граница с области D переходит в границу T области G. Пусть функция f(x,y) интегрируема в области D, ограничена кусочно-гладкой кривой C. Пусть кроме того отображение G в D осуществляемое функциями x=x(u,ν), y=y(u,ν) удовлетворяет трем перечисленным условиям. Тогда справедлива следующая формула замены переменных: . Чаще всего используются при переходе от декартовой к полярной системе координат X=ρcos; Y=ρsin. В этом случае Якобиан равен