2) Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости собственных интегралов, зависящих от параметра (теоремы 1, 2,3). Теорема 1. Если функция непрерывна в прямоугольнике П, то функция , непрерывна на сегменте [с, d]. Доказательство. Из формулы вытекает, что приращение функции I(y) равно . Поскольку по теореме Кантора функция равномерно непрерывна в прямоугольнике П, то по данному можно указать такое , что при всех х из [а, Ь] и всех у и (у + у) из [с, d] таких, что |у| < , выполняется неравенство . Но тогда из соотношения вытекает, что при |у| < выполняется неравенство | | < , которое означает непрерывность функции I(у) в каждой точке у сегмента [с, d]. Теорема доказана. Теорема 2. Если функция непрерывна в прямоугольнике П, то функция I(у) интегрируема на сегменте [с, d]. Кроме того, справедлива формула . Иными словами, в условиях теоремы интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком интеграла. Доказательство. Согласно теореме 1 функция I(у) непрерывна на сегменте [с, d] и поэтому интегрируема на этом сегменте. Справедливость выводимой формулы следует из равенства повторных интегралов (эти интегралы равны двойному интегралу ). Теорема доказана. Замечание. Вместо верхнего предела d интегрирования по у мы можем поставить любое число из сегмента [с, d]. Теорема 3. Если функция f(x, у) и ее частная производная непрерывны в прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на сегменте [с, d] и ее производная может быть найдена по формуле . Иными словами, в условиях теоремы интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Доказательство. Рассмотрим следующую вспомогательную функцию: . Так как непрерывна в прямоугольнике П, то по теореме 1 функция g(y) непрерывна на сегменте [с, d] и интеграл от этой функции по сегменту [с, у] может быть найден по формуле интегрирования под знаком интеграла. Согласно замечанию к теореме 2 получим . Поскольку , , то получаем следующее представление для I(y): . Как известно, производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции g(t) существует и равна значению этой функции в точке у. Поэтому функция I(у) дифференцируема и ее производная равна g(y). Теорема доказана.