28) Криволинейные интегралы 1-го рода по пространственной кривой. Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую кривую L, не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания. Предположим, что кривая определяется параметрическими уравнениями x=(t), у =(t),z=χ(t) (atb) и сначала будем считать ее не замкнутой и ограниченной точками А и В. Предположим далее, что функция f(x,y,z) определена и непрерывна вдоль кривой L = АВ. Разобьем сегмент аtb при помощи точек а = t0<t1<t2<…<tn=b на n частичных сегментов [tk-1,tk] (k=1,2…n). Так как каждому значению tk соответствует на кривой L определенная точка Mk (xk,yk) с координатами хk=(tk), yk=(tk), z=χ(tk) то при указанном разбиении сегмента а≤t≤b вся кривая L=АВ распадается на n частичных дуг М0М1, M1M2, ..., Mn-1Mn. Выберем на каждой частичной дуге Мk-1Мk произвольную точку Nk(k,k,ζk), координатыk,k,ζk которой отвечают некоторому значению k параметра t, так что k=(k), k=(k), ζk=χ(τk) причем tk-1≤k≤tk. Договоримся обозначать символом lk длину k-й частичной дуги Мk-1Мk (k=1, 2, ... ,n). Составим интегральную сумму Назовем число I пределом интегральной суммы (s= 1, 2, 3) при стремлении к нулю наибольшей из длин ?lk, если для любого ε>0 найдется δ>0 такое, что ¦-I¦<ε, как только наибольшая из длин lk меньше δ. Определение: Если существует предел интегральной суммы 1 при стремлении к нулю наибольшей из длин k, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L (не зависящим от вида разбиения и от выбора промежуточных точек на частичных дугах) и обозначается символом или . Постановка задачи: Пусть вдоль кривой L распределена масса с линейной плотностью f(x, у, z). Для вычисления массы всей кривой естественно разбить эту кривую на малые участки и, считая, что на каждом участке плотность меняется мало, положить массу каждого участка приближенно равной произведению некоторого промежуточного значения плотности на длину этого участка. В таком случае масса всей кривой приближенно будет равна интегральной сумме. Точное значение массы естественно определить как предел суммы при стремлении к нулю длины наибольшего участка. Таким образом, криволинейный интеграл первого рода дает массу кривой, линейная плотность вдоль которой равна f(x, у,z). Криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении пробегается прямая L (от А к В или от В к А)