29) Криволинейные интегралы 2-го рода. Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую кривую L, не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания. Предположим, что кривая определяется параметрическими уравнениями x=(t), у =(t) (atb) и сначала будем считать ее не замкнутой и ограниченной точками А и В. Предположим далее, что две функции P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны вдоль кривой L = АВ. Разобьем сегмент аtb при помощи точек а = t0<t1<t2<…<tn=b на n частичных сегментов [tk-1,tk] (k=1,2…n). Так как каждому значению tk соответствует на кривой L определенная точка Mk (xk,yk) с координатами хk=(tk), yk=(tk), то при указанном разбиении сегмента а≤t≤b вся кривая L=АВ распадается на n частичных дуг М0М1, M1M2, ..., Mn-1Mn. Выберем на каждой частичной дуге Мk-1Мk произвольную точку Nk(k,k), координатыk,k которой отвечают некоторому значению k параметра t, так что k=(k), k=(k), причем tk-1≤k≤tk. Договоримся обозначать символом lk длину k-й частичной дуги Мk-1Мk (k=1, 2, ... ,n). Составим две интегральные суммы Назовем число I пределом интегральной суммы (s= 1, 2, 3) при стремлении к нулю наибольшей из длин lk, если для любого ε>0 найдется δ>0 такое, что ¦-I¦<ε, как только наибольшая из длин lk меньше δ. Определение: Криволинейным интегралом 2-го рода от функций P(x,y) и Q(x,y) по кривой L называется предел интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшей из длин k,и обозначается символом Сумму принято называть общим криволинейным интегралом второго рода и обозначать символом Постановка задачи: Пусть материальная точка движется из А в В вдоль кривой L под действием силы F(x, у), имеющей компоненты Р(х, у) и Q(x, у). Для вычисления работы по такому перемещению естественно разбить кривую L на малые участки и, считая, что на каждом участке сила меняется мало, положить работу на каждом участке приближенно равной сумме произведений компонент силы, взятых в некоторых

промежуточных точках, на компоненты вектора смещения. В таком случае полная работа по перемещению из А в В будет приближенно равна сумме и . Точное значение

этой работы естественно определить как предел указанной суммы при стремлении к нулю

длины наибольшего участка. Таким образом, общий криволинейный интеграл второго рода дает работу по перемещению материальной точки из А в В вдоль кривой L под действием силы, имеющей компоненты Р(х, у) и Q(x, у). Для криволинейного интеграла 2-го рода изменение направления на кривой ведет к изменению знака, т. е. = -