3) Непрерывность и дифференцируемость собственных интегралов, с зависимостью от параметра, как в пределах интегрирования (теорема 4 – формулировка, теорема 5 с доказательством). Будем считать, что функция задана в прямоугольнике П, который заключает в себе область D, определенную соотношениями. Если при любом фиксированном у из сегмента [с, d] функция интегрируема по х на сегменте [а(у), B(у)], то, очевидно, на сегменте [с, d] определена следующая функция: , представляющая собой интеграл, зависящий от параметра, у которого пределы интегрирования также зависят от параметра. Теорема 4. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике П, а функции а(у) и B(у) непрерывны на сегменте [с, d]. Тогда функция непрерывна на сегменте [с, d]. Теорема 5.Пусть функция и ее производная непрерывны в прямоугольнике П. Пусть далее функции а(у) и B(у) дифференцируемы на сегменте [с, d]. Тогда функция I(у) дифференцируема на сегменте [с, d] и ее производная I'(у) может быть вычислена по формуле . Доказательство. Зафиксируем произвольное у о из сегмента [с, d] и представим I(y) в форме . Первый интеграл в правой части является интегралом, зависящим от параметра у, с постоянными пределами интегрирования. Так как по условию f(x,y) и непрерывны в П, то, согласно теореме 3, первое слагаемое представляет собой дифференцируемую функцию в точке у0 и производная указанной функции в этой точке равна. Докажем, что второе слагаемое в правой части имеет производную в точке у0. Поскольку это второе слагаемое обращается в нуль при у = у0, достаточно убедиться в существовании следующего предела: , который по определению и равен искомой производной. Преобразуем интеграл в числителе. По формуле среднего значения имеем , причем заключено между b(у0) и b(у). Подставляя полученное выражение и учитывая, что в силу непрерывности при , а при убедимся, что интересующий нас предел существует и равен Рассуждая совершенно аналогично, убедимся, что третье сла-

слагаемое в правой части также имеет производную в точке , равную ),. Итак, мы доказали, что функция I(у) дифференцируема в произвольной точке у0 сегмента [с, d] и ее производная I’(y0) может быть вычислена по формуле. Теорема доказана.