30) Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода с помощью определенного интеграла. Договоримся называть кривую L гладкой, если функции φ(t) и ψ(t) обладают на сегменте [а,b] непрерывными производными φ’(t) и ψ’(t) и кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. Особые точки кривой L – точки, где обе производные обращаются в ноль. Докажем, что если кривая L = АВ является гладкой и не содержит особых точек и если функция f(x, у) непрерывна вдоль этой кривой, то справедлива следующая формула, сводящая криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу: dt и dt. Заметим, что определенные интегралы, стоящие в правой части формулы заведомо существуют (ибо при сделанных нами предположениях подынтегральные функции в каждом из этих интегралов непрерывны на сегменте а≤t≤b). Разобьем сегмент а≤t≤b при помощи точек а= t0<t1<t2<…<tn=b на n частичных сегментов и составим интегральные суммы, учитывая, что xk-xk-1=φ(tk)-φ(tk-1)= :::> σ Обозначим теперь определенный интеграл, стоящий в правой части формулы через К. Разбивая сегмент а≤t≤b на сумму n частичных сегментов [tk-1,tk], мы можем следующим образом записать определенный интеграл К: K=. Рассмотрим и оценим разности . Так как функции х=φ(t) и у=ψ(t) непрерывны на сегменте а≤t≤b, а функции P и Q непрерывны вдоль кривой L, то по теореме о непрерывности сложной функции P и Q непрерывны на сегменте а≤t≤b. Заметим теперь, что при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дуг k. стремится к нулю и наибольшая из разностей (tk-tk-1). Но отсюда следует, что для любого ε>0 можно указать δ>0 такое, что при условии, что наибольшая из длин k меньше δ, каждая из фигурных скобок в формулах меньше ε. Стало быть, при условии, что наибольшая из длин k меньше δ, мы получим для разностей следующие оценки: ¦¦≤ε где M-максимальное значение ¦φ’(t)¦ на сегменте a≤t≤b. Подчеркнем, что при выводе формулы перехода нам требуется лишь непрерывность φ’(t) и спрямляемость кривой L=AB (непрерывность ψ’(t) при этом не требуется. В силу произвольности е мы можем утверждать, что интегральная сумма σ1 имеет (при стремлении к нулю наибольшей из длин k) предел, равный К. Тем самым одновременно доказано существование криволинейных интегралов, стоящих в левой части формулы и справедливость указанных формул.