31) Формула Грина (Теорема 23 с доказательством) Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом 2-го рода по замкнутой кривой L и двойным интегралом по замкнутой области Ω, ограниченной L. Теорема: Пусть функция P(x,y) и Q(x,y) вместе со своими частными производными ∂Q/∂x и ∂P/∂y непрерывны в замкнутой области Ω, ограниченной L. Тогда справедлива формула: Обход по L в положительном направлении. Док-во: Рассмотрим в начале интеграл: В качестве области Ω выберем простую область вида:

Имея в виду, что любую произвольную область можно представить как совокупность простых областей == Интеграл =. Интеграл Т.о. Добавим к правой части этого равенства два криволинейных интеграла и , которые по одельности равны нулю, т.к. на этих кривых x=const и dx=0. Получим = =. Аналогично можно рассмотреть интеграл . В итоге получится: =. Вычтем из этого равенства соотношение (полученное ранее): = В итоге получим: – формула Грина.