4) Несобственные интегралы, зависящие от параметра (определение, равномерная сходимость, критерий Коши (теорема 6) равномерной сходимости). Символом мы будем обозначать полуполосу . Пусть в полуполосе задана функция I(x,y) , интегрируемая по x в несобственном смысле на полупрямой при любом фиксированном у из сегмента [с, d]. При этих условиях на сегменте [с, d] определена функция называемая несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра у. При этом говорят, что интеграл сходится на сегменте [с, d]. Важную роль играет понятие равномерной сходимости. Определение. Несобственный интеграл называется равномерно сходящимся по параметру у на сегменте [с, d], если он сходится на сегменте [с, d] и если для любого > 0 можно указать такое , зависящее только от , что для любого R > А и для всех у из сегмента [с, d] выполняется неравенство . Сформулируем критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Теорема 6. Для того чтобы несобственный интеграл равномерно сходился по параметру у на сегменте [с, d], необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 можно было указать число , зависящее только от и такое, что для любых R’и R’', больших А, и для всех у из сегмента [с, d] . Справедливость этого критерия вытекает непосредственно из определения равномерной сходимости.