5) Признаки Вейерштрасса (теорема 7 с доказательством) и Дирихле-Абеля (теорема 8) равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Теорема 7 (признак Вейерштрасса). Пусть функция f(x, у) определена в полуполосе и для каждого у из сегмента [с, d] интегрируема по х на любом сегменте [a, R]. Пусть далее для всех точек полуполосы выполняется неравенство . Тогда из сходимости интеграла вытекает равномерная сходимость по у на сегменте [с, d] интеграла . Доказательство. В силу критерия Коши сходимости интеграла от функции g(x) для любого можно указать такое, что при всех R" > R' выполняется неравенство . Применяя неравенство , получим для всех у из сегмента [с, d]. Это и означает выполнение критерия Коши равномерной сходимости интеграла . Теорема 8 (признак Дирихле-Абеля).Пусть функция f(x, у) определена в полуполосе , при каждом у [с, d] интегрируема по х на любом сегменте [a, R] и с некоторой постоянной М > 0 удовлетворяет условию Предположим также, что функция g(x), определенная при , монотонно не возрастая, стремится к нулю при . Тогда несобственный интеграл сходится равномерно по у на сегменте [с, d].