6) Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственных интегралов, зависящих от параметра (теоремы 9, 10 с доказательством, теоремы 11, 12 без них). Теорема 9. Пусть функция I(x,y) непрерывна в полуполосе , а интеграл сходится равномерно на сегменте [с, d]. Тогда этот интеграл является непрерывной функцией у на сегменте [с, d]. Доказательство. Рассмотрим последовательность функций каждая из которых непрерывна на сегменте [с, d]. Очевидно, из равномерной сходимости интеграла вытекает равномерная сходимость к I(у) функциональной последовательности . Теорема 10. Пусть функция I(x,y) и ее частная производная непрерывны в полуполосе . Пусть далее для некоторого у из сегмента [с, d] сходится интеграл , а интеграл сходится равномерно по у на сегменте [с, d]. При этих условиях функция I(у) дифференцируема на сегменте [с, d] и ее производная I’(у) может быть найдена по формуле Иными словами, при условиях теоремы дифференцирование по параметру может производиться под знаком несобственного интеграла, зависящего от параметра. Доказательство. Рассмотрим последовательность функций . Каждая из функций дифференцируема на сегменте [с, d] и справедливо равенство . Из условия теоремы вытекает, что последовательность интегралов, стоящих в правой части, сходится равномерно на [с, d]. Следовательно, к той же предельной функции равномерно сходится последовательность производных . Теорема 11. Если выполнены условия теоремы 9, то интеграл можно интегрировать по параметру у на сегменте [с, d], причем . Иными словами, в условиях теоремы несобственный интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком несобственного интеграла. Теорема 12. Пусть функция I(x,y) неотрицательна и непрерывна при и . Пусть далее интегралы непрерывны соответственно при и . Тогда из сходимости одного из следующих двух несобственных интегралов вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов.