. В этом интеграле р и q считаются параметрами. Если эти параметры удовлетворяют условиям р < 1 и q < 1, то B(p,q) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров р и q, причем особыми точками этого интеграла будут точки x = О и x = 1. Эйлеровым интегралом второго рода или «гамма-функцией» принято называть несобственный интеграл 
Отметим, что в этом интеграле имеются два типа особенностей: 1) интегрирование по полупрямой 
; 2) при р < 1 точка х = 0 является особой точкой подынтегральной функции (подынтегральная функция обращается в бесконечность). Область сходимости интегралов Эйлера. Докажем, что функция В(p, q) определена для всех положительных значений параметров р и q, а функция Г(р) для всех положительных значений р. Функция (p, q) При р < 1 и q < 1 подынтегральная функция непрерывна, и поэтому интеграл в правой части является собственным. Поэтому функция В(p, q) определена для всех отмеченных значений р и q. Обратимся теперь к случаю, когда выполняются одно или оба из следующих неравенств: 0<р<1, 0 < q < 1. В этом случае одна или обе из точек х = 0 и х = 1 являются особенными точками подынтегральной функции. Имея это в виду, представим В(p, q) в следующей форме: 
. Очевидно, каждый из интегралов 
и 
имеет лишь одну особую точку. Для интеграла 
особой точкой будет точка х = 0. Замечая, что на сегменте [0, 1/2] функция 
непрерывна и поэтому ограничена некоторой константой С, легко убедиться, что функция С будет мажорирующей для подынтегральной функции интеграла . Отсюда следует, что интеграл сходится при 0 < р < 1 и любом q. Рассуждая аналогично, легко убедиться, что интеграл 
сходится при 0 < q < 1 и любом р. Итак, мы убедились, что в случае, когда выполняются неравенства р > 0 и q > 0 интеграл сходится, т. е. функция В(р, q) определена для всех положительных значений р и q. Перейдем теперь к функции Г(р). Этот интеграл имеет два типа особенностей — интегрирование по полупрямой и особую точку х = 0. Чтобы разделить эти особенности, разобьем область интегрирования на две части так, чтобы на каждой части наблюдалась лишь одна из отмеченных особенностей. Например, можно представить Г(р) следующим образом: 
Так как 
при х > 0, то, согласно частному признаку сравнения, интеграл
сходится при р > 0. Интеграл 
также сходится при р > 0. Чтобы убедиться в этом, можно воспользоваться частным признаком сравнения в предельной форме: 
при любом r. Итак, мы доказали, что областью определения функции Г(р) является полупрямая р > 0.